Uvod¶
V splošni obliki predstavlja gibanje vrtavke eno najtežjih nalog mehanike. Vendar se dajo bistvene lastnosti vrtavke prikazati na primeru rotacijsko simetrične vrtavke. Vrtavko imenujemo rotirajočee togo telo, katerega os lahko spreminja smer v prostoru in je vpeta (podprta) le v eni točki. Pri analizi gibanja vrtavke je potrebno definirati tri različne osi:
Geometrijska os vrtavke $\vec{z}$. Vrtavka je v našem primeru rotacijsko simetrično togo telo, ki ima eno glavno os tenzorja vztrajnostnega momenta $J_{33}$ v smeri simetrijske osi, drugi dve glavni osi pa sta pravokotni nanjo. Vztrajnostna momenta okrog teh dveh osi sta enaka $J_{11} = J_{22}$. Ostale komponente tenzorja so enake 0.
Vektor kotne hitrosti $\vec{\omega}$ določa trenutno smer osi vrtenja.
Tretjo os določa vektor vrtilne količine $\vec{\Gamma} = (\Gamma_{i})$, ki je s kotno hitrostjo $\vec{\omega} = (\omega_i)$ povezan preko vztrajnostnega tenzorja $J_{ij}$ z enačbo $\Gamma_i = J_{ij}\omega_j$. Izbrati si je treba še primeren koordinatni sistem. Gibanje opazujemo v laboratorijskem sistemu x′, y′ in z′. Os z′ ima smer navpičnice, enačbe gibanja pa najlažje zapišemo v lastnem sistemu telesa x, y in z. Koordinatne osi so vezane na togo telo in imajo smeri glavnih osi tenzorja vztrajnostnega momenta. V tem sistemu ima torej ta tenzor diagonalno obliko in vrtilna količina je:
$\Gamma_x = J_{11} \omega_x$
$\Gamma_y = J_{22} \omega_y$
$\Gamma_z = J_{33} \omega_z$
Za simetrično vrtavko velja, da vsi trije vektorji $\vec{z}, \vec{\omega}$ in $\vec{\Gamma}$ vedno ležijo v eni ravnini, ki jo npr. določata $\vec{\omega}$ in $\vec{z}$. Na vrtavko, ki ni podprta v težišču, deluje zaradi sile težnosti navor: $M = mgl \sin \theta$, kjer je m masa vrtavke, g težnosti pospešek, l razdalja med težiščem in oporno točko osi (l je ročica navora), in $\theta$ kot med osjo vrtavke in vertikalo. Za simetrično vrtavko pod vplivom težnosti je še mogoče dobiti točne rešitve Eulerjevih enačb, to je enačb, ki opisujejo gibanje vrtavke. Gibanje je precej zapleteno in ga opišemo s tem, kako se os vrtavke giblje v prostoru (določena je s kotoma $\theta$ in $\varphi$). Vektor $\vec{\Gamma}$ ni več konstanten, ohranja pa se energija in tudi $\omega_z$ je konstanta gibanja, saj okoli vzdolžne osi vrtavke ni navora. Enostavneje se da gibanje opisati približno za primer tako imenovane ’hitre vrtavke’, torej pri pogoju, da je kinetična energija mnogo večja od potencialne $\frac{1}{2} J \omega_{z}^2 $ >> 2mgl. (2mgl je razlika potencialne energije med stanjema s $\theta$ = 0 in $\theta$ = $\pi$). Gibanje osi vrtavke ponazorimo na naslednji način. Določena točka na osi opisuje neko trajektorijo na krogli s središčem v točki, kjer je os fiksirana.
$\cos \theta_0 - \cos \theta_1 \approx \frac{J_{11}}{J_{33}} \frac{2mgl}{J_{33}\omega_{z}^2 \sin^2 \theta_0}$
Shema 1: Gibanje osi simetrične vrtavke pri različnih začetnih pogojih
Način gibanja kota $\theta$ je seveda odvisen od začetnih pogojev in dušenja. Vrtavka niha med skrajnima vrednostma kota $\theta$ z nutacijsko hitrostjo $\omega_N$:
$\omega_N = \frac{J_{33}}{J_{11}} \omega_z$
in se obenem giblje okrog osi $z'$ (navpičnice v prostoru) s precesijsko kotno hitrostjo $\omega_{pr}$:
$\omega_{pr} = \frac{mgl}{J_{33} \omega_z }$
Na splošno dobimo obe vrsti gibanja osi: nutacijo in precesijo. Frekvenca nutacije $\omega_N$ bo v našem primeru primerljiva s frekvenco vrtenja vrtavke in se zmanjšuje pri večjih oddaljenostih uteži od težišča. Čim hitreje se vrti vrtavka, tem težje je vzbuditi nutacijo in je tudi bolj dušena. Nutacija je dušena zaradi trenja. Kaj pa precesija? Pri enostavni obravnavi vrtavke nutacijo običajno izpustimo. S tem pridemo v težave v prej obravnavanem primeru, saj naj bi se precesija začela s konstantno precesijsko frekvenco takoj, ko vrtavko spustimo iz mirovanja. (Za preskok iz mirovanja v enakosmerno precesijo bi potrebovali neskončen navor.) Ko vrtavko spustimo, v resnici začne padati zaradi sile težee. To se zelo dobro vidi pri počasnejši vrtavki. Zaradi navora sila teže začne vrtavka s precesijo. Začetno padanje se nadaljuje v nutacijo. Hitrejša kot je vrtavka, manj je začetnega padca in s tem manjša začetna amplituda nutacije. Nutacija je poleg tega hitrejša, saj je sorazmerna hitrosti vrtenja vrtavke in bolj dušena, zato je skoraj ne opazimo več.
