Sklopljen električni nihajni krog¶

Fizikalni praktikum 4, Luka Skeledžija, junij 2022¶

Uvod¶

Mnogo pojavov v naravi lahko opišemo kot sistem skopljenih enakih oscilatorjev. Sistem, sestavljen s sklopitvijo $n$ oscilatorjev, ima $n$ lastnih načinov nihanja z lastnimi frekvencami $\omega_n$. V primeru sklopljenih fizičnih nihal imamo prvi način, kjer nihali nihata v fazi, ter drugi način, kjer nihata v protifazi. V prvem načinu je lastna frekvenca enaka lastni frekvenci enega nesklopljenea nihala. V drugi je močnejša, čim močnejša je sklopitev.

alt text

Slika 1: Shema vezja

Rešitev diferencialna enačbe za zgolj kapacitivno sklopljeni vezji RLC nam za začetni pogoj, kjer drugi krog miruje in začnemo vzbujati prvi krog, napove odvisnost napetosti oblike

$ U_1 = U_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t) \cos(\Delta\omega t) $

$ U_2 = U_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t) \sin(\Delta\omega t) $

Naša eksperimentalna postavitev pa ni ravno tako idealna -- povsem je problem induktivna sklopitev, ki pri manjših vrednostih nastavljivega kondenzatorja igra precej veliko vlogo, a smo jo tu ignorirali.

Ko merimo resonančno krivuljo, vidimo, da je resonančni vrh položnejši, čim večje je dušenje $\beta$. Pogosto namesto parametra $\beta$ navajamo dobroto oz. kvaliteto nihajnega kroga

$ Q = \frac{\omega_1}{\Delta\omega} = \frac{\omega}{2\beta} = \sqrt{\frac{L}{CR^2}}$

pri čemer je $\omega_1$ resonančna frekvanca, $\Delta\omega$ širina širina resonančne krivulje pri $\frac{1}{\sqrt 2}$ maksimuma.

Naloga¶

  1. Izmerite časovni potek napetosti na obeh krogih pri vzbujanju s stopničastim signalom za vse različne sklopitve $C_0$ = 0, 150, 330, 560, 820, 1150 pF.
  2. Izmerite frekvenčno karakteristiko enega nihajnega kroga in določite dobroto $Q$.
  3. Izmerite frekvenčno karakteristiko sklopljenih nihajnih krogov z meritvijo odziva drugega kroga za vsak $C_0$ in izmerite razliko lastnih krožnih frekvenc $\Delta \omega$.

Potrebščine¶

  • digitalni osciloskop (SigLent SDS 1104X-E),
  • funkcijski generator napetosti (SigLent SGD 1032X), namizni multimeter (SigLent SDM 3065X),
  • nihajna kroga in kabli, USB ključek,
  • prenosnik št. 1 s programom SkNiKr napisan v LabView.


Meritve in obdelava¶

1. Meritev sklopljenih nihajnih krogov¶

Nihajna kroga sklopimo in pomerimo odziv na osciloskopu. Na graf narišemo odziva $U_1$ in $U_2$, za $U_1$ tudi modeliramo odvisnost, s pomočjo katere bomo izmerili vrednosti $\beta$ in $\Delta \omega$.

$$ C_0 [pF]$$ $$ \beta [1/s]$$ $$ \Delta \omega [1/s] $$
0 6397 /
150 6285 19690
330 5780 38146
560 5767 51714
820 5831 66883
1150 5408 81348
Tabela 1: Podatki fitanih modelov. Napake fita podane s strani funkcije curve_fit so nesmiselne, saj presegajo veliksotni razred samih koeficientov za nekaj velikostnih razredov.

2. Vsiljeno nihanje enega nihajnega kroga¶

Nihajni krog 2 kratko sklenemo (U2 -> GND) in vmesni kondenzator preklopimo na 0 pF. Vezje vzbujamo s sinusnim signalom in merimo napetost na prvem krogu v odvisnosti od frekvence.

Kratko-sklenjena resonanca

Z Grafa 1 preberemo vrednosti $$ \omega_0 = 2 \pi \cdot (67875 \pm 375) \ \mathrm{Hz} = (426 \pm 3) \ \mathrm{kHz} $$ in obe meji širine resonančne črte (pri vrednosti $U_{RMS}$) $\nu_L$ in $\nu_D$. $$ \omega_0 = 2 \pi \cdot (67875 \pm 375) \ \mathrm{Hz} $$ $$ \Delta \omega = 2 \pi \cdot (\nu_D - \nu_L)= (13 \pm 2) \ \mathrm{kHz} $$ Izračunamo dobroto $G$: $$ G = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = 5.1 \pm 0.8 $$ Velja tudi $\Delta \omega = 2 \beta $, torej lahko zapišemo $G = \frac{\omega_0}{2\beta} = \sqrt{\frac{L}{C R^2}}$. Če še na ta način izračunamo $\beta = \Delta \omega / 2$, dobimo $\beta = (6600 \pm 950) \ \mathrm{s^{-1}}$, kar se ujema z rezultati iz 1. dela naloge.

Induktivno sklopljena resonanca

Na Grafu 2, je prikazana resonančna krivulja, kot je v primeru, če nihajni krog 2 ni kratko sklenjen. Opazimo dve resonanci zaradi medsebojnega vpliva magnetnih polj tuljav in žic. Resonanci sta pri $\nu_1' = (67250 \pm 250)\ \mathrm{Hz}$ in $\nu_2' = (69750 \pm 250)\ \mathrm{Hz}$.


3. Vsiljeno nihanje sklopljenih nihajnih krogov¶

Na spodnjih grafih so prikazane resonančne krivulje pri različnih stopnjah dušenja. Opazimo, da sta pri šibki sklopitvi vrhova bližje skupaj kot pri močnejših sklopitvah. Pri prvi resonanci (z nižjo frekvenco) izmerimo fazni zamik $\delta = \pi / 2$, pri drugi pa $\delta = 0$.